Autor da análise: 
gabrielrcp
Link: http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2852
Resumo
Dadas duas retas, encontrar os pontos de ambas que minimizem a distância entre elas. Depois responder a altura (coordenada z) ponto médio entre os dois.
Solução
O enunciado desse problema é meio confuso, e acho que uma figura lá ia facilitar imensamente esse problema. Releiam e vocês verão que é isso aí que eu coloquei no resumo.
A primeira coisa que devemos fazer é colocar as coisa num sistemas de coordenadas cartesianas. Seguindo especificações do enunciado, podemos colocar o observador A no ponto $a = (0, 0, HA)$ e o observador B no ponto $b = (100, 0, HB)$.
Uma maneira de representar uma reta é através de um de seus pontos e de um vetor que indique a direção. Já temos os pontos, o vetor será calculado usando os ângulos fornecidos.
Se $\alpha$ e $\beta$ são, respectivamente, os ângulos de elevação e de azimuth, um vetor correspondente em coordenadas cartesianas é $v = \left( \cos(\alpha)\cos(\beta) , \cos(\alpha)\sin(\beta) , \sin(\alpha) \right)$. Calcule $va$ e $vb$, os ângulos das retas dos observadores A e B.
Agora fixe um ponto $x$ da reta A. O ponto da reta B que está mais próximo de $x$ será $b + <vb, x - b> vb$. Onde $<\bullet,\bullet>$ denota o produto interno usual.
Note a se percorrermos a reta A à partir de $a$ na direção de $va$, a distância de cada ponto à reta B vai diminuir, até chegar num ponto de mínimo e depois crescer. Assim podemos usar busca ternária para encontrar esse ponto de mínimo. O que encerra o problema.
Uma observação é que, se você não souber a fórmula que eu coloquei acima (ela não é muito difícil de deduzir, mas é meio chato de explicar digitando). Você pode fazer uma segunda busca ternária, para encontrar o ponto da reta B mais próximo ao ponto fixado.
Testes
Entrada
4 5.25 2.92
39.6 36.0 35.4 151.2
65.1 71.2 16.5 160.6
59.4 59.5 43.8 139.0
45.0 41.2 32.9 152.6
Saída
1: 50
2: 135
3: 119
4: 58
Discuta o problema
estava tentando fazer de outra maneira, mas o resultado não dava certo…
(1)eu usei as retas como
fiz o produto vetorial de
(3)e encontrei a direção, depois era só resolver um sistema e dividir o vetor pela metade. o modulo é algebrera. Alguém conseguiu fazer assim?
Não entendi… esse produto vetorial dá a direção do que?
Hum, acho que isso tá errado.
As retas P1 e P2 não dependem do módulo de v e u (pode se usar quaisquer vetores paralelos a u e v). E certamente a representação usadas para as retas não pode afetar a distância entre elas, mas do seu jeito isso afeta, subtituiuir u por 2*u e v por 2*v, aumenta a suposta distância.
eu usei u e v para encontrar a direção do vetor que liga os pontos mais proximos das retas, eu e o cassius bolamos essa solução,
quando você faz a multiplicacão de u e v você tem um vetor perpendicular ao plano que contem esses dois vetores, dando a direção do vetor, para calcular a distancia, eu fiz assim:
criei dois planos paralelos (\lambda u + \sigma v) que passam pelas retas. a distancia entre esses dois planos é o modulo do vetor que eu quero.
deixando os dois planos na forma: ax+by+cz = d, temos d1 e d2, a distancia dos dois planos é: |d1-d2|/(sqrt(a²+b²+c²)) (lembrando que se os planos são paralelos, a1 = a2, b1 = …)